Association pour l'Innovation Didactique
Fonctions périodiques et Figures-Géoplan
Les figures de ce document sont des figures-Géoplan, donc interactives. Le menu de chaque figure s'obtient en double-cliquant sur son dessin.
Introduction
Il s'agit ici de donner le moyen de faire tracer dans une figure-Géoplan la courbe représentative d'une fonction périodique assez générale.
Exemple
La figure 1 ci-dessous représente la fonction f périodique de période 1 et qui vaut 3x2 quand x Î [0, 1]. Bien entendu on n'a représenté qu'une partie de la courbe représentative et il en sera toujours ainsi dans les exemples de ce document.
Figure Geoplan n° 1
Pour voir le périodicité, faire défiler le dessin en utilisant la souris, bouton droit enfoncé ou les Majuscules - flèches horizontales du clavier.
Comment la figure est-elle réalisée? L'examen du texte de la figure nous montre que la méthode utilisée est très simple: l'ingrédient principal en est la fonction partie entière dont le nom dans Géoplan est int.
Rappelons que int(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x, ce qui se résume par:
int(x) Î Z et si n = int(x) alors n £ x < n + 1
Ainsi pour calculer f(x), il suffit de chercher le nombre x0 qui diffère de x d'un nombre entier et qui est dans [0, 1[ et d'écrire que f(x) = f(x0) soit ici f(x) = 3x0 2.
Comme il est clair que x0 s'obtient à partir de x par x0 = x - int(x), la fonction f représentée peut s'exprimer par f(x) = 3(x - int(x)) 2.
Fonction de période 1
On peut évidemment remplacer la fonction x | ® 3x2 sur [0, 1[ par n'importe quelle fonction f0 sur cet intervalle ce qui donnera f(x) = f0(x - int(x)).. Comme de toutes façons x - int(x) Î [0, 1], on peut prendre pour f0 n'importe quelle fonction, seule sa restriction à [0, 1] sera utilisée.
Les figure suivantes en donnent quelques exemples. L'utilisateur pourra expérimenter lui-même avec Geoplan.
|
Figure Geoplan n°2 f0 : x | ® 2 - 2x |
Figure Geoplan n°3 f0 : x | ® 10x(1 - x) |
|
Figure Geoplan n°4 |
Figure Geoplan n°5 |
Pour voir le périodicité, faire défiler le dessin en utilisant la souris, bouton droit enfoncé ou les Majuscules - flèches horizontales du clavier.
Généralisation : fonction de période T
Soit a un nombre réel, T un nombre strictement positif et f0 une fonction; comment calculer et représenter la fonction f périodique de période T et égale à f0 sur [a, a + T[?
Si x est un réel quelconque, on peut trouver un unique entier relatif n tel que
a +nT £ x < a + (n + 1)T
Cet entier doit donc vérifier
n £ < n + 1
On a doncn = int ( ) et par suite
On peut le vérifier sur la figure suivante où on choisit a comme abscisse du point libre A sur ox et T comme distance à A du point libre B.
Figure Geoplan n° 6
Pour voir le périodicité, faire défiler le dessin en utilisant la souris, bouton droit enfoncé ou les Majuscules - flèches horizontales du clavier.
Pour modifier la valeur de a, déplacer le point A avec la souris, bouton gauche enfoncé; pour modifier la valeur de T, déplacer le point B avec la souris, bouton gauche enfoncé.