Association pour l'Innovation Didactique
Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
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Tracé des courbes intégrales d'une
équation différentielle du premier ordre Comparaison des méthodes d'Euler et de Runge-Kutta. 1- La méthode d'Euler Cette méthode est la plus simple
des méthodes numériques à un pas: elle consiste à confondre tangente à une courbe et
courbe sur des intervalles de petite
taille. Partant d'un
point A(xA,yA)
on construit une ligne polygonale de proche en proche, en se contentant de respecter d'une
part une contrainte de continuité et d'autre part une suite d'équations (Ei) du type
qui définissent la direction du prochain petit segment. Nous avons réalisé dans la figure 1 cette méthode pour h >0 et h<0 ; nous obtenons de la sorte deux courbes connectées en A. La fonction f(x,y) = qui définit le champ de l'équation différentielle peut être modifiée. Il suffit pour changer f de double-cliquer sur son expression, pour ensuite saisir la nouvelle expression, sortir de l'éditeur en cliquant sur le menu appliquer, puis à la figure la nouvelle équation différentielle à traiter.
2- La méthode de Runge-Kutta La méthode de Runge-Kutta, comme la précédente, est une méthode numérique à un pas; elle peut éventuellement invalider des tracés faits avec la méthode d'Euler, car elle est plus précise. Pour calculer le point , on utilise également la solution comme une valeur initiale, sans tenir compte des valeurs calculées précédemment, mais avec des pondérations correctives qui ressemblent à la méthode d'intégration numérique de Simpson. On ne devrait pas dire "la" mais
"les" méthodes de Runge-Kutta
, car nous n'en donnons qu'une variante dite d'ordre 4, qui calcule à chaque
itération Remarquez qu'il y a quatre évaluations de la fonction f par itération, contre une seule pour la méthode d'Euler. Le temps de calcul supplémentaire est largement récompensé par un gain en précision. Dans cette figure comme dans la précédente, vous pouvez saisir une autre
expression pour la fonction f :
Les amateurs de Géoplan seront allés comparer les textes des deux figures, et auront peut-être remarqué que dans le premier cas, nous avons choisi de représenter les courbes en tant que graphes de fonction, et que dans le second cas, nous avons opté pour des graphes de suites, dans un repère approprié. |