Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Dans le texte suivant, les figures sont
interactives : A l'aide de la souris bouton droit enfoncé, on
peut "faire tourner" la figure de l'espace
représentée. On peut aussi le faire par les flèches du clavier
(touche Majuscule enfoncée) quand ça marche...
Dans les deux dernières illustrations (théorème des deux plans
parallèles et théorème du toit) on peut, de plus, saisir à la
souris les points marqués en noir et modifier ainsi la figure.
1° - Positions relatives et
parallélisme de droites et de plans
a) Positions relatives de deux droites distinctes
Deux droites distinctes D et D' peuvent être coplanaires ou non
coplanaires.
Dans le cas où elles sont coplanaires, la situation est celle de
la géométrie plane : dans le plan qui les contient, les droites
sont soit strictement parallèles soit sécantes.
D et D' sont non coplanaires.
P est un plan qui contient D.
P est un plan qui contient D et D'.
D et D' sont strictement parallèles.
P est un plan qui contient D et D'.
D et D' sont sécantes.
Remarque : Deux droites ayant une intersection vide ne
sont pas forcément parallèles, et deux droites non parallèles
ne sont pas forcément sécantes.
b) Positions relatives d'une droite et d'un plan
L'intersection d'une droite D et d'un plan P est soit vide, soit
réduite à un point, soit égale à D. Lorsque l'intersection ne
contient qu'un seul point on dit que D est sécante à P, ou
encore que D et P sont sécants.
Définition : une droite D est parallèle à un plan P si
et seulement si D est incluse dans P ou l'intersection de D
avec P est vide.
D et P sont sécants.
D est strictement parallèle à P.
D est incluse dans P,
donc D est parallèle à P.
c) Positions relatives de deux plans
distincts
L'intersection de deux plans distincts est soit vide, soit égale
à une droite et dans ce cas on dit que les plans sont sécants. Définition : Deux plans sont parallèles si et
seulement si ils sont égaux ou leur intersection est vide.
Les plans P et Q sont sécants.
Les plans P et Q sont strictement
parallèles.
Commentaire : les figures ci-dessus, dans lesquelles
les plans sont représentés par des rectangles en perspective,
sont purement conventionnelles (un plan n'a pas de bord, on ne
dessine ici que des portions de plans ou de droites). Elles sont
destinées à forger une image des situations présentées. Le
fait de pouvoir faire tourner les figures de l'espace devrait
pouvoir améliorer la perception.
d) Théorèmes relatifs au parallélisme
(1) Par un point, il passe un seul plan parallèle à un plan
donné.
(2) Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un
est parallèle à l'autre.
(3) Si une droite D est parallèle à un plan P, tout plan
sécant à P contenant D coupe P selon une droite parallèle à
D.
D est parallèle à P.
D est incluse dans Q.
D' est l'intersection des plans P et Q.
(4) Si une droite est parallèle à une droite d'un plan P,
elle est parallèle à P.
D est parallèle à D',
et D' est incluse dans P.
(5) Si deux plans sécants sont parallèles à une droite D,
leur intersection est parallèle à D.
D est parallèle à P et à Q.
D' est l'intersection de P et Q.
(6) Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un
est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont
parallèles.
Les plans P et P' sont parallèles.
D est la droite d'intersection des plans P et Q.
D' est la droite d'intersection des plans P' et Q.
(7) Théorème du toit : si deux plans sécants contiennent
deux droites parallèles, leur intersection est une droite
parallèle aux deux premières.
d est dans P.
d' est dans Q.
d et d' sont parallèles.
D est la droite d'intersection de P et Q.
Commentaire
Si la plupart des théorèmes de la géométrie plane s'étendent
naturellement à l'espace, il faut cependant rester vigilant;
Voici deux exemples de "faux-amis" :
Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas forcément
parallèles.
Par un point, il passe plusieurs droites parallèles à un plan
donné, il passe plusieurs plans parallèles à une droite
donnée.
2° - Orthogonalité
a) Orthogonalité de deux droites
Définition Deux droites sont orthogonales dans l'espace si et seulement
si leurs parallèles passant par un point quelconque sont
perpendiculaires dans le plan qui les contient.
D'1 est parallèle à D1,
D'2 est parallèle à D2,
D1 et D2
sont, dans P, sécantes
et perpendiculaires.
D'1 et D'2 sont orthogonales.
Commentaires
La définition s'appuie sur le fait que si deux droites sécantes
sont perpendiculaires, leurs parallèles passant par un un point
quelconque sont également perpendiculaires.
D'après la définition, deux droites perpendiculaires sont
évidemment orthogonales, mais deux droites orthogonales ne sont
perpendiculaires que si elles sont sécantes. Cependant on donne
souvent le même sens aux deux mots.
b) Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Théorème Une droite est orthogonales à toutes les droites d'un plan si
et seulement si elle est orthogonale à deux droites
sécantes de ce plan.
Définition Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle
est orthogonale à toutes les droites de ce plan et donc,
d'après le théorème précédent, si et seulement si elle
est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
D est orthogonale à P, donc D est
orthogonale à toute droite de P.
Commentaires
L'expression "droite perpendiculaire à un plan" a le
même sens que "droite orthogonale à un plan".
Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on montre
souvent que l'une est orthogonale à un plan qui contient
l'autre.
c) Orthogonalité de deux plans Définition Deux plans sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si
et seulement si l'un contient une droite orthogonale à
l'autre.
Q contient une droite D perpendiculaire à P.
P et
Q sont perpendiculaires.
Exemples sur un cube :
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Toute
droite de l'un est donc parallèle à l'autre : par
exemple, la droite (AC) est parallèle au plan (EFG).
La droite (AE) est perpendiculaire aux droites (AB) et
(AD) et donc au plan (ABC).
Elle est orthogonale à toute droite de ce plan, par
exemple à (AC).
Les plans (ABC) et (AEH) sont perpendiculaires puisque
chacun contient une droite perpendiculaire à l'autre.
etc.
Commentaire
Une erreur fréquente consiste à affirmer "lorsque deux
plans sont perpendiculaires, toute droite de l'un est
perpendiculaire à l'autre", ou encore "toute droite de
l'un est perpendiculaire à toute droite de l'autre". Ceci
est évidemment faux et il est facile de trouver des
contre-exemples sur le cube.
d) Théorèmes concernant parallélisme et
orthogonalité
(1) Si deux plans sont parallèles, toute droite
perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. (2) Si deux droites sont parallèles, tout plan
perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Les plans P et Q sont parallèles.
La droite D est perpendiculaire au plan P,
donc au plan Q.
D et D' sont parallèles.
P est perpendiculaire à D, donc à D'.
ou
Les plans P et Q sont parallèles.
La droite D est perpendiculaire au plan P,
donc au plan Q.
D et D' sont parallèles.
P est perpendiculaire à D, donc à D'.
(3) Deux droites perpendiculaires à un même
plan sont parallèles.
Les droites D et D' sont perpendiculaires
au plan P.
(4) Deux plans perpendiculaires à une même
droite sont parallèles.
(5) Par un point donné, il passe un seul
plan perpendiculaire à une droite donnée.
(6) Par un point donné, il passe une seule
droite perpendiculaire à un plan donné.
(7) Si deux plans sécants sont
perpendiculaires à un même plan P, leur droite d'intersection
est perpendiculaire à P.
Les plans Q et Q' sont perpendiculaires au plan P.
Commentaires
Certains théorèmes ci-dessus ne sont pas illustrés. Pour bien
les comprendre, nous conseillons au lecteur de chercher dans les
illustrations précédentes celles qui pourraient convenir.
Ici encore, attention aux ''faux-frères"; par exemple,
deux plans perpendiculaires à un même plan ne sont pas
forcément parallèles.