Association pour l'Innovation Didactique
Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques

Orthogonalisation de Schmidt
Illustration

Introduction

E est un sous-espace euclidien de dimension finie d'un espace euclidien. On suppose que E est défini par une de ses bases. Le problème est le suivant:
Comment construire une base orthonormale de E?
Une réponse à ce problème est fournie par le "procédé d'orthogonalisation de Schmidt", qui est illustré ici en géométrie élémentaire dans le plan, puis dans l'espace.

Illustration en géométrie élémentaire

Pour "voir", on fixe un point O; pour chaque vecteur on prendra un représentant d'origine O.

Dimension de E = 2 ; les représentations se font avec Geoplan.

E est alors interprété comme un plan vectoriel. Soit   et   deux vecteurs de ce plan et qui en forment une base.   et    sont représentés par   et  .
On cherche deux vecteurs   et   formant une base orthogonale de E. On commence par   =  .

Les points A et B sont libres dans la figure 1

 


figure-Geoplan n°1

Soit   le projeté orthogonal de B sur la droite OA. On prend   =  .

On va exprimer   à l'aide de   et  .
Comme   est colinéaire à  , il existe a tel que  .
Par la relation de Chasles,  , donc  .
Pour calculer a, on écrit la perpendicularité   ^    sous la forme  .
Ceci donne l'équation   d'où on tire     .

En divisant   et   par leurs normes respectives, on a la base cherchée ( , ).


figure-Geoplan n°2

Dimension de E = 3 ; les représentations se font avec Geospace.
Pour mieux constater les orthogonalités, ne pas hésiter à faire tourner avec la souris, bouton droit enfoncé.

On part des vecteurs  , et   formant une base de E et représentés par    et  .
 Dans la figure-Geospace n°1, les points A, B sont libres dans leur plan et C est libre dans l'espace. On a représenté le plan OAB par un parallélogramme afin d'améliorer la visibilité.

On va construire progressivement la base orthogonale   et  .
On commence toujours par  .
En projetant B sur OA, on obtient   et on prend   =   qu'on exprime à l'aide de   et 
On construit donc deux vecteurs orthogonaux   et   comme expliqué plus haut.  


figure-Geospace n°1

On complète en prenant un vecteur perpendiculaire au plan engendré par   et  . Pour cela, on projette C en   sur ce plan  et on prend   =   
On exprime   à l'aide de   et   :
 =   en sachant que   et que
1°)   est dépendant de   et   soit   = a  + b ,
donc    =   - a  -  b .
2°)   ^    et   ^   , donc   et  .
Donc  et 
En divisant   et  par leurs normes respectives, on a la base cherchée 
( , , ).


figure-Geospace n°2

Exemple en analyse

Prenons par exemple pour E l'espace des fonctions de carré sommables sur [-1,1] muni de la norme L2, dérivant du produit scalaire :
<f,g> =   et appliquons le procédé de Schmidt à la base canonique:
: x|->1 ;  : x|->x ;  : x|-> .
En faisant les calculs comme expliqué précédemment, on trouve :
: x|-> : x|-> et  : x|->