Association pour l'Innovation Didactique
Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques

Convolution par la distribution de Dirac d
Illustration

Il s'agit d'illustrer de manière un peu intuitive le fait que d est élément neutre pour le produit de convolution.

La situation

On sait que la fonction porte    converge vers la distribution de Dirac d quand a tend vers 0.

Sur la figure Geoplan ci-contre, la fonction est représentée en bleu. Après avoir activé la figure en cliquant dessus, on peut faire varier a par les flèches du clavier.


Soit f une fonction et soit h = f * ga le produit de convolution de ga avec f .

h(x) =   .

Comme  est nulle en dehors de [ ] et vaut  dans cet intervalle, on a

h(x) =   .

 En faisant le changement de variable x - t = u

h(x) =   = 

Si F est une primitive de f, alors

h(x) =   

 c'est à dire que h(x) est la valeur moyenne de F sur [ ]. Or  , qui peut se lire aussi 

ce qui est cohérent avec le fait que d est l'élément neutre de la convolution : f * d = f


Exemple illustré

Sur l'exemple la courbe représentant f est en bleu, celle représentant h en rouge.

On peut voir sur la figure le phénomène de convergence de
h vers f en diminuant a au moyen de la flèche gauche du clavier après avoir cliqué sur la figure.

vous pouvez changer l'expression de f en cliquant sur Appliquer dans une des cases :





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