Association pour l'Innovation DidactiqueConvolution par
la distribution de Dirac d
Illustration
Il s'agit d'illustrer de manière un peu intuitive le fait que d est élément neutre pour le produit de convolution.
La situation
| On sait que la
fonction porte
converge vers la distribution de Dirac d quand a tend
vers 0. Sur la figure Geoplan ci-contre, la fonction est représentée en bleu. Après avoir activé la figure en cliquant dessus, on peut faire varier a par les flèches du clavier. |
|
Soit f une fonction et soit
h = f * ga le produit de convolution de ga avec f .
h(x) = .
Comme est nulle en dehors de [ ] et vaut dans cet intervalle, on a
h(x) = .
En faisant le changement de variable x - t = u
h(x) = =
Si F est une primitive de f, alors
h(x) =
c'est à dire que h(x) est la valeur moyenne de F sur [ ]. Or , qui peut se lire aussi
ce qui est cohérent avec le fait que d est l'élément neutre de la convolution : f * d = f
Exemple illustré
| Sur l'exemple la
courbe représentant f est en bleu, celle
représentant h en rouge. On peut voir sur la figure le phénomène de convergence de h vers f en diminuant a au moyen de la flèche gauche du clavier après avoir cliqué sur la figure. vous pouvez changer l'expression de f en cliquant sur Appliquer dans une des cases : |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|