Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
Essai de page HTML pour la
visualisation d'une application linéaire : exercices
Dans ce texte suivant, les figures sont des "figures-Géoplan".
Pour activer une telle figure, cliquer dessus : le cadre apparaît qui
indique qu'elle est active.
Pour faire apparaître son menu, double-cliquer dessus.
Soit l'application linéaire f de R2
vers lui-même de matrice
F =
[
a b c d
]
On représentera ici R2 par le plan d'une
figure-Géoplan.
Le repère standard Roxy (origine o, vecteurs
de base
et
) représente le repère canonique de R2.
Soit le vecteur
de coordonnées x et y.
L'image par f de ce vecteur est
de coordonnées x' = ax + by et y' = cx + dy.
La figure 1 permet de se familiariser avec cette représentation en déplaçant
le point M.
Exercice 1 • La matrice est tirée au hasard (pour le cadrage,
les coefficients sont limités).
• Vous allez essayer d'estimer
les coefficients a, b, c et d à 0,2 près.
Pour cela, affecter le point M par ses coordonnées (menu "Piloter", item "Placer
un point libre par coordonnées") ou à la souris (donc
approximativement).
Pour répondre, utilisez la virgule décimale
(pas le point)
a =
; b =
; c =
; d =
;
Figure 1
Exercice 2 : Image, Noyau • La matrice est ici non inversible
(mais non nulle) à coefficients entiers petits tirés au hasard.
• Vous allez essayer de trouver son noyau et son image.
Rappel
Le rang de la matrice est forcément 1. L'image et
le noyau sont de dimension 1.
Pour répondre, construisezces
droites dans la figure 2 par exemple comme droites
définies par une équation (menu créer, sous-menus ligne
puis droite)
Nommez bien I l'image et N le noyau et ne tester
qu'après avoir construit I et N.
Figure 2
Exercice 3 : Vecteurs propres • La matrice est tirée au hasard (pour simplifier,
les coefficients sont entiers et petits).
• Question :
la matrice est-elle diagonalisable sur R?
Remarque : on pourrait aussi demander une
estimation des valeurs propres (dans le cas réel, mais peut-être aussi dans le
cas où elles sont complexes..) et d'autres choses encore..