Association pour l'Innovation Didactique
Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
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Dans le texte suivant, les figures sont des figures-Géospace, donc interactives : En cliquant sur une figure, on la rend active (ceci se voit au fait qu'elle est alors encadrée). Quand une figure est ainsi active, alors
Courbe gauche Introduction On suppose l'espace repéré par un repère orthonormal (o, , , ). Dans les figures, les axes sont représentés par ox, oy et oz. Le but de ce document est de permettre la visualisation dans l'espace de certaines notions de base concernant les courbes en géométrie. Il ne remplace pas le cours, il le résume et l'illustre de manière interactive. Notion de courbe dans l'espace Soient trois fonctions x, y et z. Soit une variable réelle u. Pour chaque valeur de u telle que les trois nombres x(u), y(u) et z(u) existent, ces trois nombres sont les coordonnées d'un point de l'espace. Quand u prend toutes les valeurs possibles, alors l'ensemble de ces points forme une courbe. On appellera M le point variable de coordonnées (x(u),y(u),z(u)).
Tangente, vecteur vitesse Soit une courbe C définie comme précédemment. Posons . La dérivée du vecteur , qui a donc pour coordonnées (x'(u),y'(u),z'(u)) est un vecteur , tangent à la courbe en M. Si u est le temps, alors est le vecteur vitesse de M.
Accélération, plan osculateur La dérivée seconde de est interprétable, si u est le temps, comme le vecteur accélération. Le plan contenant M et les représentants de et de issus de M est le plan osculateur à la courbe en M.
On démontre, à l'aide de la formule de Taylor, que quand M est un point "ordinaire" de la courbe, celle-ci traverse le plan osculateur en M.
Le trièdre de Frenet Soit s l'abscisse curviligne; rappelons la relation ds2 = dx2+dy2+dz2 Dans l'exemple (volontairement simple) de la figure 6, cette relation s'écrit ds2 = (1+4u2+4u4)du2 c'est-à-dire ds = (1+2u2)du Le vecteur
est
un vecteur unitaire tangent en M
à la courbe.
Le vecteur
est un
vecteur normal à la courbe et il est contenu dans le plan
osculateur en M. On pose . On définit ainsi un repère orthonormal d'origine M de base ( , , ) qui est le repère de Frenet en M.
Courbure, cercle osculateur Appelons R l'inverse de la norme de , on a la relation . R est le rayon de courbure de la courbe en M et son inverse est la courbure en M. La droite passant par M de vecteur
directeur
est la normale
principale à la courbe en M.
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