Association pour l'Innovation Didactique

Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques

RECHERCHE et DEVELOPPEMENT


Vous trouverez, dans cette rubrique, des pages où sera exploré le potentiel encore sous-estimé de Geoplan-Geospace dans des domaines où on ne l'attend pas : par exemple, avec le calcul formel...


…pour qui ? Cette rubrique est ouverte aux membres du GRUG et à tous les « fins connaisseurs » de nos logiciels. Le terrain n’est pas encore bien balisé : les sujets sont libres, le but étant de présenter des techniques nouvelles et de, pourquoi pas, influencer les développements futurs... Ces pages seront sous la responsabilité de leurs auteurs, même si l'AID-CREEM se réserve le droit, sans préavis, de retirer une page.
La présente rubrique « Recherche et développement » contiendra donc parfois des pages « en chantier ». Il n’est pas dans la tradition de l’AID-CREEM de présenter au public des travaux non achevés et encore insuffisamment certifiés.

L’AID-CREEM offre donc cet espace, mais dégage sa responsabilité scientifique et engage pleinement celle des auteurs.

Donc, si vous vous sentez concerné, si vous avez créé une page qui pourrait trouver sa place dans cette rubrique, écrivez-nous, pour un hébergement ou un lien (veuillez, dans ce cas, nous donnez un petit paragraphe d'introduction à ajouter ici).


…dans quelle perspective didactique ? Les logiciels de l’AID–CREEM ont initialement été conçus par des didacticiens pour l’enseignement secondaire. Ces logiciels ayant sensiblement gagné en puissance, ils s’inscrivent désormais dans une dynamique ascendante vers l’enseignement supérieur. Des exemples d’illustrations de thèmes enseignés dans le supérieur sont fournis ailleurs.


Par de simples copier-coller, on peut injecter dans un texte de figure Geoplan-Geospace des formules calculées par un logiciel de calcul formel. On peut ainsi présenter des thèmes mathématiques réputés difficiles, et fournir des représentations dynamiques et interactives inédites.

…les thèmes :

- suite logistique est un cas d'école pour aborder la notion de chaos. Il a été l'objet de plusieurs travaux d'élèves de classes préparatoires aux grandes écoles lorsque le thème des systèmes dynamiques était au programme des TIPE. Nous proposons ici représentations dynamiques qui montrent les comportements asymptotiques surprenants de cette suite définie par une récurrence simple, puisque du premier ordre via une fonction polynomiale du second degré. On peut agir de manière dynamique sur le sommet de la parabole, sur le nombre d'itérations, sur le terme initial...
La classique représentation en escalier / colimaçon s'adapte instantanément. La page est conçue pour permettre simultanément l'observation des apparitions/disparitions des cycles limites et les bifurcations de Feigenbaum (premier scientifique à avoir mis en évidence certains aspects de la complexité du comportement asymptotique de la suite).

- systèmes différentiels ; ce sujet fait également partie du thème des systèmes dynamiques. On trouvera ici des illustrations dynamiques dans le plan et dans l'espace, dans diverses situations. Les illustrations sont susceptibles d'enrichir une leçon de modélisation et calcul scientifique, dernière option de l'agrégation de mathématique. Un approfondissement du thème permet de croiser calcul différentiel, algèbre linéaire, analyse, et applications aux sciences physiques.

- kubik et cubique peut concerner toute personne intéressée par l'arithmétique et la cryptographie, par les représentations mathématiques dynamiques, par certains algorithmes abordés en classes préparatoires et au delà à l’université.
    Les représentations sont pour la plupart inédites ; on pense en particulier au tracé dynamique et interactif de l’orbite d’un point d’une courbe elliptique.
    Les agrégatifs pourront y puiser quelques éléments propres à étoffer des leçons d’oral.
    La lecture de certains passages requiert une culture mathématique solide.
    Le thème abordé, celui du paramétrage polynomial (et non rationnel) de cubiques de genre 0 étant quasi-absent de la littérature, le spécialiste saura reconnaître l’innovation et donc faire preuve de bienveillance quant aux imperfections de certains passages.

- Pollard-Floyd présente une méthode probabiliste de factorisation d’entiers.

Les explications fournies sur cette méthode probabiliste sont parcellaires. Toute personne qui ne se satisfait pas d’explications incomplètes est cordialement invitée à y ajouter son grain de sel. C’est une invitation à une recherche mathématique qui panache théorie et expérience. La théorie est de niveau à ce jour non identifiée, l’expérience et la formulation de conjecture est en revanche à la portée d’un élève de classes préparatoires.

- Arithmétique dynamique parle essentiellement d'arithmétique, à des niveaux très divers, allant de Terminale S à l'agrégation. On y trouvera une généralisation du théorème de Pick, une interprétation géométrique du théorème de Bezout, une démonstration élémentaire de la loi de réciprocité quadratique. La première annexe intéressera tout particulièrement les agrégatifs, et la deuxième annexe intéressera les amateurs d'histoire des mathématiques.

- Développe  offre une figure dédiée aux tracés de développées de courbes paramétrées planes (et aussi spatiales, dont les tracés, qui plus est dynamiques, sont peu courants). La théorie est au programme du CAPES, et l'étudiant trouvera là moyen de stimuler ses connaissances, et de tracer quelques belles courbes. La page est encore inachevée; toute proposition de contribution sera bien accueillie.