La
fonction cosinus est définie sur IR et à
tout réel x, elle associe cos(x).
Propriétés On démontre que :
1.
La fonction cosinus est périodique de période 2p :
pour tout réel x,
cos( x + 2p) = cos(x).
2.
La fonction cosinus est paire :
pour tout réel x,
cos( -x ) = cos(x).
Construction de la courbe de la
fonction cosinus
Dans la figure 1a, le point M est associé au
réel x sur le cercle trigonométrique et a
= cos(x). Dans la figure 1b, on a construit le point C
d'abscisse x et d'ordonnée a.
Lorsque x varie dans la
figure 1a, les valeurs de x et a sont transmises à
la figure 1b. Le point C décrit alors la
courbe de la fonction cosinus.
Pour construire la
courbe, appuyer sur le bouton ci-dessus, rendre la figure 1a
active en cliquant sur son dessin, modifier la valeur de x
à l'aide du clavier pour voir la courbe demandée se
tracer.
Figure
1a
Figure 1b Courbe de la fonction cosinus
Interprétation graphique
de la périodicité de la fonction cosinus
Pour chaque point P de la courbe de la
fonction cosinus, son image par la translation de vecteur 2p appartient
encore à la courbe. On dit que la courbe de la fonction cosinus
est invariante par la translation de vecteur 2p .
5.
Fonction sinus
Définition
La
fonction sinus est définie sur IR et à tout
réel x, elle associe sin(x).
Propriétés On démontre que :
1.
La fonction sinus est périodique de période 2p :
pour tout réel x,
sin( x + 2p) = sin(x).
2.
La fonction sinus est impaire :
pour tout réel x,
sin( -x ) = - sin(x).
Construction de la courbe de la
fonction sinus
Dans la figure 2a, le point M est associé au
réel x sur le cercle trigonométrique et b
= sin(x). Dans la figure 2b, on a construit le point S
d'abscisse x et d'ordonnée b.
Lorsque x varie dans la
figure 2a, les valeurs de x et b sont transmises à
la figure 2b. Le point S décrit alors la
courbe de la fonction sinus.
Pour construire la
courbe, appuyer sur le bouton ci-dessus, rendre la figure 2a
active en cliquant sur son dessin, modifier la valeur de x
à l'aide du clavier pour voir la courbe demandée se
tracer.
Figure
2a
Figure 2b Courbe
de la fonction sinus
Interprétation graphique
de la périodicité de la fonction sinus
Pour chaque point Q de la courbe de la
fonction sinus, son image par la translation de vecteur 2p appartient
encore à la courbe. On dit que la courbe de la fonction sinus
est invariante par la translation de vecteur 2p .
Exercice 4
Sur la
figure 3, la courbe G est la courbe
représentative de la fonction sinus. Pour chaque point M
de la courbe G, on considère
le point M', image de M par la translation de
vecteur .
Lorsque M décrit la courbe G,M'
décrit une courbe G' qui
est représentée dans la figure. On dit que G' est l'image de G par la translation de vecteur .
Le point A est fixe et le point B est libre.
Modifier la position du
point B pour que G' soit la
courbe de la fonction cosinus.
La position de B peut être modifiée en le
saisissant avec la souris. Après avoir activé la figure
3, le point B peut aussi être piloté au clavier. En
appuyant sur la touche M, c'est le point M qui devient pilotable au
clavier. Appuyer ensuite sur la touche B pour pouvoir de nouveau
piloter B au clavier.