Soit b
un réel tel que –1 £ b £ 1. On cherche tous les
réelsx d'un intervalle donné I tels
que sin(x) = b.
Résolution
à l'aide du cercle trigonométrique et d'une figure
Géoplan
• On détermine d'abord les points du cercle
trigonométrique associés aux réels x tels
que sin(x) = b. Ces points sont les points
d'intersection du cercle trigonométrique et de la droite
d'équation Y = b. (Se reporter à l'exercice
du chapitre 2 intitulé "cosinus et sinus d'un réel".)
• Ensuite on cherche
tous les réels x de l'intervalle I
associés aux points précédemment
trouvés.
Dans les
figures 1 et 1 bis, on a créé le cercle
trigonométrique C et le point M associé au
réel x qui peut prendre toutes les valeurs de
l'intervalle I (la valeur de x peut
être modifiée au clavier). Ce point servira
à déterminer les solutions de l'équation
proposée.
Exemple : résoudre l'équation sin(x)
= 0,67 dans l'intervalle I = [-2p
; p ].
Pour voir
l'exemple, cocher les cases ci-dessous dans l'ordre.
• Construire les points du
cercle associés aux solutions. • Faire parcourir à
la variable xtoutes les valeurs de I
et noter au passage une valeur approchée de chaque
solution.
Liste
des solutions :
Figure 1
Exercice Créer dans la figure 1 les
éléments utiles pour écrire dans le
cadre ci-dessous la liste des solutions de l'équation sin
(x) = -0,41 comprises dans l'intervalle I = [-p ; 3p ].
Pour chacune d'elles, on écrira
une valeur approchée sous forme décimale ayant au
plus deux chiffres après la virgule. Les différentes
valeurs seront séparées par un point virgule.
Liste des
solutions :
Figure 1bis
Résolution algébriqueOn démontre le théorème :
Dans IR, sin(x) = sin(a) Û
Dans la figure 2, b est un réel, les points H et H'
sont les points d'intersection de la droite d'équation Y
= b avec le cercle trigonométrique. (On peut changer la valeur de b au
clavier.) Dans IR , tous les réels associés
à H et H' sont solutions de
l'équation sin(x) = b.
Si a est l'un de ces
réels, tous les autres s'écrivent a + k.2 p
ou p– a
+ k'. 2p , k et k'
entiers relatifs.
Figure2
Exemple : déterminer les solutions dans
l'intervalle [–2p ; 2p ] de l'équation sin(x) = .
• On sait que = sin donc l'équation sin(x)
= est équivalente à sin(x) = sin .
D'après le théorème cité, les solutions
dans IR sont les réels : + k.2p
et + k'.2p , k et k' étant des entiers
relatifs.
• Pour trouver les solutions dans [-2p ; 2p ], on cherche les
valeurs de k et k' qui vérifient :
– 2p £ + k.2p £
2p
et – 2p £ + k'.2p £ 2p .
Or – 2p £ + k.2p £ 2p Û £ k £
Û k
= – 1 ou k = 0
et – 2p £ + k'.2p £ 2p Û £ k' £
Û k'
= –1 ou k' = 0.
Donc les
solutions de l'équation sin(x) = dans l'intervalle [-2p
; 2p ] sont :
.